Matematik · Konu 16/18 · sıralı çalışma
Kısa özet: Kümeler, eleman sayısı formülleri ve Venn şemasıyla çözülen sözel problemleri kapsayan konudur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2^n, öz alt küme sayısı 2^n-1'dir; iki kümenin birleşimindeki eleman sayısı s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B) formülüyle bulunur.
- 17 altın kural
- KPSS'de ort. ~2 soru
- En kritik: alt küme sayısı 2^n, Venn şeması, birleşim formülü
KPSS'de kümeler sorusu çoğunlukla "iki dil bilenler", "iki dersten en az birinden geçenler" gibi Venn şemasıyla çözülen sözel problem kalıbında gelir. Çözümün püf noktası, "sadece birini", "en az birini" ve "hiçbirini" ifadelerinin şema üzerinde hangi bölgeye karşılık geldiğini doğru yerleştirmektir; bu ayrım yapılmadan kurulan denklemler yanlış sonuca götürür. Alt küme ve öz alt küme sayısı da doğrudan formül sorusu olarak sorulabilmektedir.
Küme Tanımı ve Gösterimi
Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin oluşturduğu bir topluluktur ve genellikle büyük harflerle (A, B gibi) gösterilir; elemanları süslü parantez içinde yazılır. Örnek: A={2,4,6,8} kümesi, 2'den 8'e kadar çift sayıları içeren bir kümedir.
Alt Küme Kavramı
Bir B kümesinin her elemanı aynı zamanda A kümesinde de bulunuyorsa, B kümesi A kümesinin alt kümesidir (B⊆A). Boş küme (∅) her kümenin, her küme de kendisinin alt kümesidir.
Alt Küme Sayısı Formülü
n elemanlı bir kümenin toplam alt küme sayısı 2^n formülüyle bulunur. Örnek: 3 elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2³=8'dir. Bu formül, boş küme ve kümenin kendisi de dahil TÜM alt kümeleri kapsar.
Öz Alt Küme Sayısı
Bir kümenin kendisi hariç tüm alt kümelerine öz alt küme denir ve sayısı 2^n-1 formülüyle bulunur. Örnek: 3 elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı 2³-1=7'dir, çünkü kümenin kendisi bu sayıma dahil edilmez.
Birleşim İşlemi (A∪B)
İki kümenin birleşimi, her iki kümede de bulunan TÜM elemanları (ortak olanlar bir kez yazılarak) içeren yeni kümedir. Örnek: A={1,2,3}, B={3,4,5} ise A∪B={1,2,3,4,5}'tir; 3 elemanı iki kümede de olsa birleşimde bir kez yazılır.
Kesişim İşlemi (A∩B)
İki kümenin kesişimi, HER İKİ kümede de ORTAK olarak bulunan elemanlardan oluşan kümedir. Örnek: A={1,2,3}, B={3,4,5} ise A∩B={3}'tür, çünkü sadece 3 elemanı her iki kümede birden bulunmaktadır.
Örnek Soru
Soru: Bir sınıftaki 40 öğrenciden 25'i basketbol, 20'si voleybol oynamaktadır. Her iki sporu da oynayan 10 öğrenci olduğuna göre, hiçbir sporu oynamayan öğrenci sayısı kaçtır?
Doğru Cevap: B) En az bir spor yapan öğrenci sayısı s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B)=25+20-10=35 formülüyle bulunur. Toplam öğrenci sayısından bu değer çıkarılarak hiçbir sporu yapmayan öğrenci sayısı 40-35=5 olarak bulunur.
İlgili Konular
Sıkça Sorulan Sorular
s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B) formülü kullanılır; bu formülde kesişimdeki elemanlar hem A hem B'de sayıldığı için bir kez fazladan sayılmış olur ve bu fazlalık kesişim çıkarılarak düzeltilir. Hiçbir özelliği taşımayan kişi sayısı bulunmak isteniyorsa, toplam kişi sayısından bu birleşim değeri çıkarılır.
"Sadece A'yı seven" ifadesi yalnızca A dairesinin B ile kesişmeyen kısmını (s(A)-s(A∩B)) kapsar, yani B'yi de sevenler bu sayıya dahil değildir. "En az birini seven" ifadesi ise A veya B'den en az birini seven herkesi, yani A∪B'nin tamamını (kesişim dahil) kapsar; bu iki ifadenin karıştırılması KPSS'de en sık yapılan hatadır.
Bir kümenin her elemanı için bir alt kümeye "dahil" veya "dahil değil" olmak üzere 2 seçenek vardır; n eleman için bu seçimler birbirinden bağımsız yapıldığından toplam olasılık sayısı 2×2×...×2 (n kez), yani 2^n olur. Bu sayıya boş küme (hiçbir eleman seçilmemiş durum) ve kümenin kendisi (tüm elemanlar seçilmiş durum) de dahildir.
En sık hata, ikili kesişimleri (A∩B, A∩C, B∩C) çıkarırken üçlü kesişimi (A∩B∩C) tekrar eklemeyi unutmaktır; çünkü üçlü kesişimdeki elemanlar üç ikili kesişimde de sayıldığından üç kez fazladan çıkarılmış olur ve bir kez geri eklenerek dengelenmesi gerekir. Bu adım atlanırsa sonuç, üçlü kesişim sayısı kadar eksik çıkar.