Matematik · Konu 15/18 · sıralı çalışma
Kısa özet: Sayı dizileri, belirli bir kurala göre sıralanan sayılarda örüntüyü bulup genel terimi ve toplamı hesaplama konusudur. Aritmetik dizide n. terim an=a1+(n-1)×d, ilk n terimin toplamı Sn=n×(a1+an)/2 formülüyle; geometrik dizide n. terim an=a1×r^(n-1) formülüyle bulunur.
- 17 altın kural
- KPSS'de ort. ~2 soru
- En kritik: genel terim, dizi toplamı, örüntü tespiti
KPSS'de sayı dizileri sorusu genellikle "dizinin 20. terimi kaçtır", "boşluğa hangi sayı gelmelidir" veya "ilk n terimin toplamı kaçtır" kalıbıyla sorulur. Çözümün ilk adımı, ardışık terimler arasındaki farkın mı yoksa oranın mı sabit olduğunu test ederek dizinin türünü belirlemektir; rastgele terim tahmini zaman kaybettirir. Kare, Fibonacci ve tek-çift sıralarda ayrı kural işleyen karışık diziler de örüntü sorusu olarak karşımıza çıkar.
Dizi Kavramı
Belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna dizi denir; her sayıya terim, terimin sırasına ise indis denir. Örnek: 2, 5, 8, 11, 14 dizisinde her terim bir öncekinden 3 fazladır.
Aritmetik Dizi Tanımı
Ardışık terimleri arasındaki fark sabit olan diziye aritmetik dizi denir; bu sabit farka ortak fark (d) adı verilir. Örnek: 4, 7, 10, 13 dizisinde ortak fark d=3'tür, her terim bir öncekine 3 eklenerek bulunur.
Aritmetik Dizide Genel Terim Formülü
Aritmetik bir dizinin n. terimi, an=a1+(n-1)×d formülüyle bulunur; burada a1 ilk terim, d ortak farktır. Örnek: ilk terimi 5, ortak farkı 4 olan dizinin 10. terimi a10=5+(10-1)×4=5+36=41'dir.
Aritmetik Dizide Terimler Toplamı
Aritmetik bir dizinin ilk n teriminin toplamı Sn=n×(a1+an)/2 formülüyle, yani ilk terim ile son terimin ortalamasının terim sayısıyla çarpılmasıyla bulunur. Örnek: 1'den 10'a kadar sayıların toplamı S=10×(1+10)/2=55'tir.
Geometrik Dizi Tanımı
Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan diziye geometrik dizi denir; bu sabit orana ortak çarpan (r) adı verilir. Örnek: 3, 6, 12, 24 dizisinde ortak çarpan r=2'dir, her terim bir öncekinin 2 katıdır.
Geometrik Dizide Genel Terim Formülü
Geometrik bir dizinin n. terimi, an=a1×r^(n-1) formülüyle bulunur; burada a1 ilk terim, r ortak çarpandır. Örnek: ilk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan dizinin 5. terimi a5=2×3⁴=2×81=162'dir.
Örnek Soru
Soru: 3, 7, 11, 15, ... şeklinde devam eden aritmetik dizinin 20. terimi kaçtır?
Doğru Cevap: B) Dizide ardışık terimler arasındaki fark sabit olduğundan (7-3=4, 11-7=4, 15-11=4) bu bir aritmetik dizidir ve ortak fark d=4'tür. İlk terim a1=3 olduğuna göre genel terim formülü an=a1+(n-1)×d kullanılarak 20. terim a20=3+(20-1)×4=3+76=79 olarak bulunur.
İlgili Konular
Sıkça Sorulan Sorular
Ardışık terimler arasındaki FARK her zaman aynıysa (an-an-1 sabitse) dizi aritmetiktir; ardışık terimler arasındaki ORAN her zaman aynıysa (an/an-1 sabitse) dizi geometriktir. Bu kontrolü yaparken sadece ilk iki terime bakmak yeterli değildir, en az üç-dört terimle sabitliği doğrulamak gerekir, çünkü bazı sorularda ilk terimler tesadüfen aynı farka sahipmiş gibi görünüp sonradan kural değişebilir.
Genel terim formülünde (n-1) kullanılmasının nedeni, ilk terimin (a1) zaten kendisinin d kadar hiç artırılmamış hâli olmasıdır; ikinci terime ulaşmak için sadece BİR kez d eklenir, üçüncü terime ulaşmak için İKİ kez d eklenir. Yani n. terime ulaşmak için ilk terimden itibaren (n-1) kez d eklenmiş olur, bu yüzden formül a1+(n-1)d şeklindedir, a1+n×d değildir.
Sabit fark yoksa, ardışık terimler arasındaki farkların kendisi yeni bir dizi oluşturur; bu yeni dizinin sabit olup olmadığına bakılır (ikinci dereceden fark). Örneğin 1,4,9,16,25 dizisinde farklar 3,5,7,9'dur ve bu farkların kendisi aritmetik bir dizi oluşturur (ortak fark 2); bu, orijinal dizinin kare sayılar (n²) örüntüsüne uyduğunun bir işaretidir.
Aritmetik bir dizide terimler simetrik olarak dağıldığı için, dizinin başından ve sonundan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı her zaman aynıdır (a1+an=a2+an-1=...); bu nedenle tüm terimlerin toplamı, ilk ve son terimin ortalamasının terim sayısıyla çarpılmasına eşittir: Sn=n×(a1+an)/2. Bu yöntem, özellikle çok terimli toplamlarda her terimi tek tek toplamaktan çok daha hızlıdır.